本网讯（通讯员时尚）10月20日晚，西班牙巴塞罗那大学哲学系David Fernandez-Duque教授做了主题为“古德斯坦定理与不完全性”的线上讲座，biwn必赢官方哔哩哔哩账号全程转播。该讲座由我院程勇教授主持，来自国内外200余名听众参加此次线上讲座。

Duque教授2008年在斯坦福大学取得数学博士学位，他在证明论、可证逻辑、模态逻辑等领域作出了杰出贡献。

Duque教授的报告，由浅入深、详略得当，并介绍了许多新的研究成果。

本讲座先从经典的“古德斯坦定理”开始，讲述它在不完全性现象研究中的重要意义；之后引入了新的定义和记号，提出新的想法从而在新的系统中得到更强的结论。

第一部分主题是古德斯坦定理的证明，并进一步给出了“古德斯坦漫步”上的类似定理。古德斯坦定理是人们发现的一个在PA中不可证的关于自然数的真命题：无论初始值是哪个自然数，古德斯坦序列都会在有限步之后收敛到0。Deque教授介绍了项的基底-指数形式，以及一个重要的操作——基底变换。然后引入超穷基底变换，将我们在自然数中得到的一些结论推广到e₀中。通过将古德斯坦序列中的基底变换为w，构造出序数中的严格下降链，巧妙地证明了该定理。为保证证明的可靠性，Deque教授先证明了有关基底变换的最大性和单调性的相关引理。受此启发，我们可以构造出新的序列“古德斯坦漫步”，并且证明了该序列也会在有限步终止。

第二部分主题是证明古德斯坦定理在PA中不可证，即该定理独立于PA。Deque教授首先递归地定义了序数的“基本序列”，然后引入了一个快速增长的函数——哈代函数。我们使用一个重要的定理——在PA中可证的可计算函数都可以被哈代函数最终控制住。通过巴赫曼性质给出该快速增长层级的上界。这个定理使我们可以从局部的性质推广到整个函数上。 然后证明表示古德斯坦序列终止长度的函数不被哈代函数所控制，进而证明了古德斯坦定理在PA中不可证。

第三部分介绍了教授本人的相关研究，在前两部分的基础上延伸出更深的结论。原本的古德斯坦序列建立在指数上，但现在我们有更快的增长函数。比如阿克曼函数，它也是一个可计算但不是原始递归的函数。在介绍阿克曼项的时候，教授讲了k-基底阿克曼项，还补充了“三明治标准型”。证明了阿克曼古德斯坦漫步也是有限的。接下来证明该定理在ATR₀中是不可证的。ATR₀是一个二阶算术的子系统。通过不动点定义了一个新的序数G₀，然后定义了类似哈代函数的概念，并证明了在ATR₀中不可证明该函数是全函数。然后类似第二部分可证如下命题在ATR₀中不可证：阿克曼古德斯坦序列在有限步内终止。最后Duque教授指出该定理在ID₁中也是独立的。另外，快速增长的函数都可以用来作为新的记号导出更强的古德斯坦定理。 最后Duque教授介绍了他的学生在做的在更大的序数上得到的更强的独立性命题。

在评论互动环节，Guillaume Aucher教授与Duque教授讨论了关于PA中可计算函数最终都被哈代函数所控制的定理的证明思想。 然后程勇教授指出广义的古德斯坦定理与e₀长度下的超穷归纳原则等价。之后程勇教授与Duque教授讨论了古德斯坦定理与PA的一致性间的关系，阿克曼古德斯坦序列的有限终止性是否等价于G₀长度下的超穷归纳原则，及快速增长的函数类的选择对古德斯坦定理独立性证明的影响。

最后，程勇教授感谢David Fernandez-Duque教授带来的精彩讲座。至此，本次讲座圆满结束。

（编辑：邓莉萍 审稿：严璨）