本网讯（通讯员 索鑫钊）2020年9月至2021年1月，biwn必赢主办了“2020秋季学期逻辑与数学基础”系列线上讲座。本学期共举行13场报告，分别由8位海外教授、2位国内教授、3位青年学者主讲，9位海内外老师担任评论人或与谈人。讲座由biwn必赢程勇教授组织，其中第八场讲座由biwn必赢申国桢副研究员主持，其余讲座由biwn必赢程勇教授主持。

讲座内容涵盖证明论、集合论、反推数学、数学哲学。英文报告在Zoom平台举行，中文报告在腾讯会议举行，每场报告共2小时，其中主讲90分钟，问答交流30分钟。来自海内外的老师和学生参加了线上报告。

2020年9月29日晚7点，举行了第一场讲座。由荷兰乌得勒支大学哲学系教授、荷兰皇家艺术与科学学院Albert Visser院士主讲“可证性逻辑与模态不动点”。本讲座的重点是经典可证性逻辑的不动点计算。本报告的处理方法同一般的方法略有不同。报告从逻辑系统‘K4+不动点’出发，证明这种逻辑系统可以消去“不动点”。为证明此点，Visser教授使用了一种多维形式的不动点定理。消除了不动点算子后所得到的系统就是勒布逻辑GL。之后报告还讨论了GL的算术解释。

2020年10月13日下午4点，举行了第二场讲座。由英国利兹大学数学系Michael Rathjen教授主讲“证明论：从算术到集合论”，德国达姆施塔特工业大学数学系Sam Sanders博士担任评论人。讲座的目的是介绍证明论的主要概念和成果，并解释证明论中从算术到集合论的序数分析的基本原理。Michael Rathjen教授指出，贯穿数理逻辑所有主要研究领域的一个核心主题是为集合、函数或理论进行分类。一种分类方法是通过超穷层级的序数来衡量其相对于基础理论的“等级”或“复杂性”。在证明论中，理论的“证明序数”刻画理论的“一致性强度”和“计算能力”。这一数理逻辑领域源于希尔伯特创立的“证明论”，其目的是通过证明数学理论的一致性来确保数学的无矛盾性，从而一劳永逸地消除所有关于数学基础的担忧。现代证明论主要产生于20世纪30年代，起源于根岑算术一致性的证明工作。

2020年10月27日晚7点，举行了第三场讲座。由比利时根特大学数学系Andreas Weiermann教授主讲“切消定理与可证递归函数”，山东大学哲学与社会发展学院梁飞副研究员与谈。Andreas Weiermann教授首先介绍了谓词逻辑的根岑切消定理。然后介绍一个使得切消定理成立的无穷皮亚诺算术系统。并通过改进经典的切消定理的证明，借助序数递归函数我们得到了皮亚诺算术的可证递归函数的一个优美的刻画。

2020年11月3日下午5点，举行了第四场讲座。由西班牙巴塞罗那大学哲学系Joost J. Joosten教授主讲“迭代一致性，反射原则及数学基础”，荷兰乌得勒支大学哲学系教授，荷兰皇家艺术与科学学院Albert Visser院士担任评论人。Joost J. Joosten教授指出，由哥德尔第二不完全性定理，我们知道任何解释足够算术理论的一致公理理论都不能证明它自身的一致性。图灵意识到，如果我们从一个可靠的基本理论T开始，并确定一个自然的序数表示，这会产生一系列更强的理论：初始阶段的理论即为基本理论T；后续阶段的理论是前一阶段的理论与该理论的一致性命题的并；在极限阶段，我们将前面所有阶段的理论合并起来。这样形成的理论的层级称为图灵扩展。在此报告中，我们将探讨如何使用图灵层级来衡量理论的强度：从一些可靠的基本理论T开始，在T上执行图灵扩展，使得扩展后的理论等于目标理论。我们将先介绍Schmerl的早期成果。 之后我们探讨Beklemishev的使用多模态可证性逻辑来实现图灵扩展的工作。

2020年11月17日晚7点，举行了第五场讲座。由德国达姆施塔特工业大学数学系Sam Sanders博士主讲“有些定理比其他定理更强：反推数学简介”， 新加坡国立大学数学系杨跃教授担任评论人。Sam Sanders博士讲到，从高中数学到研究文献，我们常见到“定理A强于定理B”和“这两个公式是等价的”这样的说法。基于数理逻辑，反推数学提供了一个框架，使得这类命题的涵义更精确。Sam Sanders博士在自己的研究基础上对这一领域做一个简单的介绍，并讨论一些新的研究方向。

2020年12月1日晚7点，举行了第六场讲座。俄罗斯科学院Steklov数学研究所Fedor Pakhomov博士主讲“Kripke-Platek集合论”，澳大利亚科技大学数学系Zachiri McKenzie博士担任评论人。Fedor Pakhomov博士指出Kripke-Platek集合论是一种相对较弱的集合理论，它与可计算性理论、证明论和模型论等领域有着多重紧密的联系。本报告介绍这一理论并概述其与其他领域的一些联系。

2020年12月8日下午4点，举行了第七场讲座。德国明斯特大学数学与计算机科学学院Ralf Schindler教授主讲“有多少个实数?”，中科院数学与系统科学研究院冯琦研究员担任评论人，中科院数学与系统科学研究院吴刘臻副研究员、biwn必赢申国桢副研究员与谈。Ralf Schindler教授指出，康托证明了实数集是不可数的。但是到底有多少实数？在过去的30年里，有两组公理被深入研究，这两组公理都意味着有ℵ₂个实数：力迫公理和P_max公理。它们都以一种精确的方式表明了集合的宇宙是丰富的或“饱和的”这一观点。并在去年和David Asperó证明了力迫公理和P_max公理实际上是兼容的；而这一事实可能支持的观点是：决定有多少个实数的集合论公理已经被找到了。

2020年12月21日下午3点，举行了第八场讲座。中科院数学与系统科学研究院吴刘臻副研究员主讲“选择公理简述”。讲座中，吴刘臻副研究员指出，选择公理是集合论公理系统中一条有着特殊地位的公理，并简要介绍了选择公理的基本性质以及研究的历史沿革和目前的一些研究现状。

2020年12月22日上午9点，举行了第九场讲座。由首都师范大学哲学系叶峰教授主讲“一种物理主义的数学哲学”，biwn必赢朱志方教授担任评论人。叶峰教授先简要介绍作为一种哲学世界观的物理主义，然后介绍自己提出的一种以物理主义的认知主体观为基础的，严格有穷主义与反柏拉图主义的数学哲学。叶峰教授认为，物理主义认为人类认知主体自身是物质性的、由进化产生的自然事物，由此出发可以推衍出对许多传统哲学问题的回答。

2021年1月5日下午3点，举行了第十场讲座。新加坡国立大学讲座教授、新加坡国家科学院庄志达院士主讲“从反推数学探讨一个逻辑问题”， 新加坡国立大学数学系杨跃教授担任评论人。庄志达院士讲到，Hilbert在1900年提出一个方案，将确认应用无穷集合的合理性归约到证明原始数论的一致性。Gödel的不完全性定理（1931）告诉我们这个方案不可行。反推数学源于探讨实现部分的Hilbert方案。它所关心的“古典”核心问题是：证明某个数学定理需要哪一类关于无穷集合存在的公理？经过将近半个世纪的发展，反推数学已成为数理逻辑里面的一个重要领域。近年来，其中一个主要研究方向是关于一个数学定理所蕴含的一阶理论(first-order theory)。换句话说，任给某个数学定理，它能蕴含多强的一阶理论？这个报告从这个观点出发，讨论几个组合数学定理，并通过模型的构造介绍集合论（特别是Gödel L宇宙的精细结构）在反推数学里的应用。

第十一场讲座和第十二场讲座是2020年1月14日世界逻辑日公众报告，分别由中国科学院数学与系统科学研究院冯琦研究员及维也纳科技大学数学系Matthias Baaz教授主讲。题目分别是“解析莱布尼兹之梦”和“哥德尔与塔斯基：逻辑人生”。两场报告详情见我院关于世界逻辑日公众报告的报道。

我院“世界逻辑日公众报告”顺利举行http:/info/1037/13494.htm

2021年1月21日下午4点，举行了第十三场讲座。由俄罗斯科学院Steklov数学研究所,俄罗斯科学院Lev D. Beklemishev院士主讲“反射代数与图灵扩展”。Lev D. Beklemishev院士指出，反射原则是这样一类公理：在给定的理论中可证明的语句（具有给定的逻辑复杂性）都是真的。这类公理的一个简单的例子是哥德尔的表示T的一致性的公式。使用反射原则和它们的超穷迭代来根据强度对算术句子进行分类的想法源于图灵（1939）。然而，图灵也意识到这种方法存在严重的困难，特别是由于缺乏对如何区分“规范的”和“病态的”序数表示系统的理解，这是证明论中的一个众所周知的难题。该讲座的目的是介绍基于反射代数的证明论分析方法的主要组成部分。从抽象的代数的观点来看，这些结构是由满足某些特定恒等式的单调一元算子族构成的半格。这些算子在算术理论的格中可以解释为将理论T映射到由理论T的反射原则形成的理论的函数。在这个框架内，我们可定义适当的序数表示系统及由反射原则迭代使用对应的超穷层级。因此，在某种程度上，图灵的对算术句子进行分类的思想有可能得到推广。

（编辑：邓莉萍    审稿：严璨）