本网讯（通讯员孙中阳）2021年12月22日，美国凯斯西储大学Truman P. Handy哲学教授、数学教授，哲学系主任Colin McLarty教授通过Zoom平台作了题为“什么是具体不完全性”的线上讲座。此讲座是biwn必赢逻辑与数学基础系列讲座第22讲，由biwn必赢程勇教授主持，俄亥俄州立大学数学、哲学、计算机杰出大学教授Harvey Friedman担任评论人。biwn必赢、数学与统计学院以及来自海内外的老师和学生参加了此次讲座。讲座历时2个半小时，在问答交流环节气氛活跃，讨论环节超过一个小时。

Colin McLarty教授从希尔伯特关于具体、直观、有限的证明论思想开始。希尔伯特相信形式公理化方法是一种富有成效的整理数学知识的工具。通过形式化，数学证明变成关于公理、证明和定理的问题，而后者都是有限的符号串。希尔伯特认为数论和几何是直观、具体、有限的数学；有限的符号串如理论的形式证明是直观的，而无穷集不是直观的。希尔伯特相信我们可通过直观的有限方法证明数学理论的一致性。Colin McLarty教授认为，这里希尔伯特犯了一个伟大的错误,一个只有有远见的天才和伟大数学家才会犯的错误，但这个错误导致了逻辑与数学基础研究的巨大进展。哥德尔不完全性定理表明Hilbert错误地认为这些关于有限符号串的问题都可以用通常的有限方法来解决。哥德尔证明了皮亚诺算术（PA）的一致性可以用算术命题来表达，但是皮亚诺算术却不能证明它。

Colin McLarty教授指出，哥德尔之后学界对不完全性的研究无论在深度还是广度上有很大的进展；人们创造了研究的新工具，如算术的子系统，及通过解释的概念将不完全性的研究从算术理论扩充到任意的理论。解释的概念提供了一种比较不同形式理论的方法。称理论S在理论T中可解释，是指可把理论S的词汇翻译成理论T的词汇，使得S的公理在此翻译下对应的语句在理论T中可证。历史上最著名的解释例子就是将欧几里得平面几何公理解释为实数代数定理。Colin McLarty教授指出欧几里得、双曲几何和代数中的实闭域理论这三个看起来不相关的理论实际是可相互解释的。

哥德尔不完全性定理的证明包含了很多新的想法：如算术化、对角化、递归函数等。它是逻辑中的一个伟大成果。Harvey Friedman教授指出，我们可将哥德尔第一不完全性定理看作一个存在性定理，证明了哥德尔语句的独立性，虽然这一定理是逻辑学上的巨大成就，但哥德尔语句却没有令人满意的数学意义；不完全性定理不能被看作是关于数学不完全性的定理，哥德尔不完全性定理的证明是个逻辑证明而非数学证明，哥德尔语句没有自然的数学意义。

哥德尔语句会影响经典数学吗？哥德尔语句和数学家们通常感兴趣的数学命题间的差距有多大？20世纪70年代，Harvey Friedman教授开始了对具体不完全性的研究，并发现了很多来自经典数学的独立于皮亚诺算术的算术命题。Colin McLarty教授指出，哥德尔语句与经典数学命题之间的差距并不是绝对的，Harvey Friedman教授发现了哥德尔语句和经典数学命题之间的许多桥梁。

紧接着，Colin McLarty教授将具体不完全性研究与希尔伯特的具体、直观、有限的证明论思想相比较，指出1980年后对不完全性的研究使得哥德尔两个不完全性定理在希尔伯特的意义上变得更加具体，与希尔伯特最初关于证明论的想法相吻合。

接下来，Colin McLarty教授重点分析了Albert Visser教授关于无参数版本的一致性命题的研究，并将其与希尔伯特具体、直观、有限的证明论目标进行比较。这一版本给出了哥德尔第二不完全性定理更一般、更系统的形式。它将哥德尔第二不完全性定理表述为：不存在递归可公理化的理论T使得Q+Con (T)在T中可解释，其中Con (T)是表示理论T的一致性的算术语句，Q表示Robinson算术。若T不能解释Q+Con (T)，这意味着理论T不能证明其自身的一致性。Colin McLarty教授讨论了Albert Visser的无参数版本的一致性命题与希尔伯特具体、直观、有限的证明论思想间的关联。Colin McLarty教授指出，对无参数的绝对版本的不完全性定理的研究使我们可不使用算术化方法，他完全同意Albert Visser的说法:“无算术化版本的哥德尔不完全定理更接近真实的数学定理”。

讲座的最后，Colin McLarty教授讨论了皮亚诺算术PA是否一致的问题。他指出，皮亚诺算术的归纳公理是适用于任意的算术公式，这是个很强的公理；但当我们在数学和逻辑中使用归纳公理归纳证明某一命题时，只对某些特定的公式使用了归纳法，因此不排除归纳公理会导致矛盾的可能性。Colin McLarty教授指出，不完全性定理的证明使用了归纳公理的某些特殊形式，而这些特殊形式在经典数学的证明中几乎是不会用到的；因此，不完全性定理在一定程度上提供了更多的证据表明PA是一致的，增长了我们对PA的一致性的信心。Colin McLarty教授指出，如果PA是不一致的，那么Nelson的非标准分析的重要性会更加凸显。

报告结束后，具体不完全性国际研究专家Harvey Friedman教授高度肯定了Colin McLarty教授的报告，并给出几点评论。Harvey Friedman教授提出第二不完全性定理的另一种等价形式，并介绍了具体不完全性研究的前沿进展，及其与经典数学的关联。在讨论环节，Harvey Friedman教授进一步和Colin McLarty教授就数学中的具体不完全性，及费马大定理在弱算术理论中的可证性等问题展开讨论。之后，两位海外学者、程勇教授及国内学生就一致性证明、希尔伯特纲领与直觉主义间的关联、哥德尔语句与数学中具体的独立性语句间的关系、具体不完全性与元数学间的关联、不使用算术化的不完全性定理的证明等问题与报告人进行交流，Colin McLarty教授耐心回答了大家的问题。

最后，主持人武汉大学程勇教授感谢Colin McLarty教授的精彩报告和Harvey Friedman教授的精彩评论，Colin McLarty教授的线上学术讲座圆满结束。

(编辑：邓莉萍   审稿：严璨、吴昕炜)